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      数学复习应注重“多题归一”
      发布时间:2013-4-16 15:52:04 点击次数:6353

      数学复习应注重“多题归一”
                                            洛南县西关中学   冀建军  
      数学题目的类型之多,形式各异,题设和结论的千变万化,真可谓“题海”。但许多题目存在着“质同形异”,如:
      题目1:a、b是方程x2=7x-4的两个不等实根,求a3+b3.
      题目2:a、b是实数,a≠b,且a2=7a-4,b2=7b-4,求a3+b3.
      以上两个题目的实质完全相同,对于题目1,学生易于联想到韦达定理,但学生对题目2则感到生疏。因此,对这些“质同形异”的题目,要善于指导学生摒弃表面因素,抓住本质的特征,既能沟通知识之间的纵横联系,同时对培养学生的创造思维效果甚佳。本文拟就如何在初中数学复习中指导学生进行“多题归一”略举几例。
      例1:(1)k为何值时,方程2x2-(4k+1)x+2k2-1=0无实根?
       (2)k为何值时,二次三项式2x2-(4k+1)x+2k2-1在实数范围内不能再分解?
       (3)抛物线y=2x2-(4k+1)x+2k2-1与x轴无交点,求k的取值范围。
       (4)k为何值时,一次函数y=(4k+1)x+(1-2k2)的图象与抛物线y=2x2不相交?
      (5)已知抛物线y=2x2-(4k+1)x+(2k2-1)的图象不经过三、四象限,求k的最大值。
      (6)k为何值时,对任意的实数x,2x2-(4k+1)x+2k2-1的值恒为正。
      上例中的几个问题,内容和形式各不相同,但实质是相同的(即△<0),有着相同的解题规律,以及相似的结果,通过以上题目,学生不难看到,对于ax2+bx+c=0(a≠0),△=b2-4ac有以下等价结论:
      △<0 等价于ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根;② ax2+bx+c在实数范围内不能分解成两个一次因式;③ y= ax2+bx+c与x轴无交点;④ a>0(a<0)时,y= ax2+bx+c在x轴的上(下)方;⑤ a>0(a<0)时,对任意实数x,ax2+bx+c的值恒为正(负)。
      进而可引导学生得出△=0等价于①  ax2+bx+c=0(a≠0)有二等实解;② y=ax2+bx+c的顶点在x轴上;③ x2+ (b/a)x+c/a是完全平方式。
       △>0时略,特别是
      △是完全平方式等价于① ax2+bx+c=0(a≠0)有两个有理根;② ax2+bx+c(a≠0)在有理数范围内可分解成为一次因式。
      以上关系沟通了判别式与一元二次方程,因式分解,二次函数,一元二次不等式之间的关系,能使学生把相似的问题归为一类,总结解题规律,做到熟一题,通一类,脱离“题海”。
      同时,在复习过程中,要有意识地指导学生注意课本例题、习题、考题之间的内在关系和相互关系,寻找模型题,适当改变题设、结论和形式,自编题目。
      例2,解方程
      (1)y2 +5y+6=0
      (2)(x2-x)2-4(x2-x)-12=0
      (3)(x2-x)2-4(2x2-2x-3)=0
      (4)(x2+3x+4)(x2+3x+5)=6
      (5)(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)-24=0
      (6)(x2-3x+2)(x2-7x+12)-24=0
      例2在六个题目呈“阶梯型”加深,其形式均可化成 ax2+bx+c=0的形式,其中⑤即为(x-1)(x-4)(x-2)(x-3)-24=0的形式,   故有(x2-5x)2-10(x2-5x)=0
      ⑥可先分解左边化成⑤的形式,继而化成②的形式。
      在几何教学中,可以通过重点剖析典型习题,对某些重要定理及图形要仔细观察,让学生分析结论,并引导推广,找出图形中的线与线的位置关系;线段、角的相等关系,倍分关系。如垂径定理、切线长定理、射影定理、两圆的相切(交),切割线定理等基本图形中隐含着许多重要结论,这些结论可使学生在解题中“以不变应万变”,把与图形有关的习题化为一类。
      以上所谈,仅为教学之略见。事实上,在数学教学中,使学生掌握数学思想,数学学习方法。数学解题策略比学习数学知识更为重要,它有利于培养学生的创造思维能力和思维的灵活性、深刻性,使学生从“学会”到“会学”以至于“会用”到“创造发明”,这也是数学教学的目的之一。
       
       

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